🔢 Esponenziali e logaritmi

Teoria · simulazioni · esercizi · quiz

Esponenziali e logaritmi, passo per passo

L'esponenziale ax e il logaritmo logax sono due funzioni inverse: capire l'una aiuta a padroneggiare l'altra. In questa app trovi una sezione di richiami e quattro sezioni dedicate alla risoluzione di equazioni e disequazioni.

Ogni sezione è organizzata sempre nello stesso modo, in quattro parti:

  • 📖 Teoria — concetti, formule e diagrammi;
  • 🎛️ Simulazioni — grafici con parametri regolabili e animazioni;
  • ✍️ Prova tu — esercizi guidati con suggerimenti e soluzione passo-passo;
  • 🧩 Quiz — domande a scelta multipla e calcoli numerici con validazione.
💡 Consiglio: parti dalle Basi, gioca con le Simulazioni per costruire l'intuizione, poi allenati con Prova tu e verifica con il Quiz.

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Esponenziali e logaritmi sono anche tipi di funzione: per lo studio di funzione completo (dominio, simmetrie, segno, limiti, derivate) con teoria e quiz, apri la web app dedicata:

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📚 Richiami su potenze e logaritmi

Proprietà delle potenze

Con base a > 0 valgono le regole:

am · an = am+n ; am / an = am−n ; (am)n = amn
a0 = 1 ; a−n = 1 / an ; a1/n = n√a
📌 Saper riscrivere un numero come potenza (es. 8 = 23, 1/9 = 3−2) è la chiave per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali.

La funzione esponenziale

f(x) = ax , con a > 0 e a ≠ 1
  • dominio ℝ, codominio (0, +∞): ax > 0 sempre;
  • passa per il punto (0, 1) perché a0 = 1;
  • crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1;
  • asintoto orizzontale y = 0.

y = 2x (crescente) e y = (1/2)x (decrescente): entrambe passano per (0, 1).

Definizione di logaritmo

Il logaritmo risponde alla domanda «a che esponente devo elevare la base per ottenere l'argomento?»

logab = c ⟺ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Es. log28 = 3 perché 23 = 8; log101000 = 3; log3(1/9) = −2.

Proprietà dei logaritmi

loga(x·y) = logax + logay
loga(x/y) = logax − logay
loga(xn) = n · logax
loga1 = 0 ; logaa = 1 ; logax = ln x / ln a

La funzione logaritmica

f(x) = logax , inversa di ax
  • dominio (0, +∞): l'argomento deve essere > 0;
  • passa per (1, 0) perché loga1 = 0;
  • crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1;
  • asintoto verticale x = 0.

y = ax e y = logax sono simmetriche rispetto alla retta y = x (funzioni inverse).

⚠️ Si scrive ln x per il logaritmo naturale (base e ≈ 2,718) e log x per la base 10.

🎛️ Esplora ax e logax

Muovi la base a e osserva come cambia la curva. Attiva l'inversa per vedere la simmetria rispetto a y = x.

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━ y = ax   ━ y = logax

⚡ Equazioni esponenziali

Un'equazione è esponenziale quando l'incognita compare in un esponente. L'idea-guida è una sola: l'esponenziale è iniettiva, quindi a esponenti uguali (con la stessa base) corrispondono valori uguali.

af(x) = ag(x) ⟺ f(x) = g(x) (a > 0, a ≠ 1)

Equazioni monomie (un solo termine esponenziale)

Si riconducono entrambi i membri alla stessa base e si uguagliano gli esponenti.

Es. 2x = 16 ⟹ 2x = 24 ⟹ x = 4.
Es. 3x+1 = 81 ⟹ 3x+1 = 34 ⟹ x + 1 = 4 ⟹ x = 3.

Se il secondo membro non è una potenza della base si usa il logaritmo:

ax = b (b > 0) ⟹ x = logab
⚠️ Poiché ax > 0 per ogni x, un'equazione come ax = b con b ≤ 0 non ha soluzioni.

2x = 6: la soluzione è l'ascissa del punto in cui la curva incontra la retta y = 6.

Equazioni polinomie (riconducibili a un polinomio)

Quando compaiono più potenze legate fra loro (es. ax e a2x), si usa la sostituzione:

t = ax , con t > 0 (così a2x = t2)

Si ottiene un'equazione polinomiale in t; si tengono solo le soluzioni t > 0 e si torna all'incognita con ax = t.

Es. 4x − 3·2x + 2 = 0. Con t = 2x: t2 − 3t + 2 = 0 ⟹ t = 1, t = 2. Quindi 2x = 1 ⟹ x = 0; 2x = 2 ⟹ x = 1.
📌 Ricorda: 4x = (22)x = (2x)2 = t2. Riconoscere queste riscritture è il passo decisivo.

🎛️ Risolvi ax = b graficamente

La soluzione di ax = b è l'ascissa dell'intersezione tra la curva y = ax e la retta orizzontale y = b.

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🔑 Equazioni logaritmiche

L'incognita compare nell'argomento di un logaritmo. Prima di tutto si scrivono le condizioni di esistenza (C.E.): ogni argomento deve essere > 0. Alla fine si verifica che le soluzioni le rispettino.

Metodo 1 — con la definizione

Quando l'equazione ha la forma «logaritmo uguale a un numero»:

logaf(x) = b ⟺ f(x) = ab (con f(x) > 0)
Es. log2(x − 1) = 3. C.E.: x − 1 > 0 ⟹ x > 1. Allora x − 1 = 23 = 8 ⟹ x = 9 (accettabile).

log2x = 3: la soluzione x = 8 è l'ascissa del punto sulla curva con ordinata 3.

Metodo 2 — uguaglianza degli argomenti

Quando ai due membri c'è un logaritmo con la stessa base:

logaf(x) = logag(x) ⟺ f(x) = g(x) (con f(x) > 0 e g(x) > 0)
Es. log(x + 2) = log(3x − 4). C.E.: x > −2 e x > 4/3. Uguaglio: x + 2 = 3x − 4 ⟹ x = 3 (accettabile).

Spesso, prima di applicare il metodo, si usano le proprietà per scrivere un solo logaritmo per membro:

Es. log2x + log2(x − 2) = 3 ⟹ log2[x(x − 2)] = 3 ⟹ x(x − 2) = 8 ⟹ x2 − 2x − 8 = 0 ⟹ x = 4 (x = −2 scartata).
⚠️ Verificare sempre le C.E.: un valore che annulla o rende negativo un argomento va scartato, anche se risolve l'equazione algebrica.

🎛️ Risolvi logax = b graficamente

La soluzione di logax = b è x = ab: l'ascissa del punto della curva y = logax con ordinata b. Il dominio è x > 0.

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⚖️ Disequazioni esponenziali

Si risolvono riconducendo i due membri alla stessa base e confrontando gli esponenti. La regola dipende dalla monotonia dell'esponenziale, cioè dalla base.

a > 1 (crescente): af(x) > ag(x) ⟺ f(x) > g(x)
0 < a < 1 (decrescente): af(x) > ag(x) ⟺ f(x) < g(x)
⚠️ Con base compresa tra 0 e 1 il verso della disuguaglianza si inverte. È l'errore più comune!

Casi con un numero al secondo membro

Si scrive il numero come potenza della base: b = ak, poi si applica la regola.

Es. 2x > 8 ⟹ 2x > 23. Base 2 > 1 ⟹ x > 3.
Es. (1/3)x > 9 ⟹ 3−x > 32. Base 3 > 1 ⟹ −x > 2 ⟹ x < −2.
📌 Poiché ax > 0 sempre: ax > (numero ≤ 0) è verificata per ogni x; ax < (numero ≤ 0) non è mai verificata.

2x > 4: la curva sta sopra la retta y = 4 per x > 2 (zona evidenziata).

🎛️ Visualizza la soluzione di ax ≷ b

La fascia arancione indica gli x che soddisfano la disequazione. Cambia la base da > 1 a < 1 e osserva come si ribalta.

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📐 Disequazioni logaritmiche

Due passaggi obbligatori: prima le condizioni di esistenza (tutti gli argomenti > 0), poi il confronto degli argomenti secondo la base. La soluzione finale è l'intersezione tra C.E. e disequazione risolta.

a > 1: logaf(x) > logag(x) ⟺ f(x) > g(x)
0 < a < 1: logaf(x) > logag(x) ⟺ f(x) < g(x)
⚠️ Come per le esponenziali, con 0 < a < 1 il verso si inverte. E non dimenticare mai le C.E.

Caso con un numero al secondo membro

Si scrive il numero come logaritmo: b = loga(ab).

logax = b ⟹ confronto con ab
Es. log2x > 3. C.E.: x > 0. Poi log2x > log28 ⟹ (base > 1) x > 8. Soluzione: x > 8.
Es. log1/2x > 2. C.E.: x > 0. Poi log1/2x > log1/2(1/4) ⟹ (base < 1) x < 1/4. Soluzione: 0 < x < 1/4.

log2x > 2: soddisfatta dove la curva sta sopra y = 2, cioè per x > 4 (nel dominio x > 0).

🎛️ Visualizza la soluzione di logax ≷ b

Ricorda il dominio x > 0. La fascia arancione mostra le soluzioni; cambia la base per vedere il ribaltamento.

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